kaoyan1basic 概率论与数理统计 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=A \mathrm{e}^{x(B-x)}(-\infty
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle A=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$，$B=2$；（2）$\displaystyle E(X^2+e^X)=\frac52+\mathrm{e}^{3/2}$；（3）$F(y)=\begin{cases}0, & y<0 \\ 2\Phi(y)-1, & y\ge0\end{cases}$ **解析**： （1）$f(x)=A\mathrm{e}^{x(B-x)}=A\mathrm{e}^{-x^2+Bx}=A\mathrm{e}^{-(x-B/2)^2+B^2/4}$，此为正态分布$\displaystyle N(\frac{B}{2},\frac12)$的密度，故$\displaystyle \frac{B}{2}=E(X)$，$\displaystyle \frac12=D(X)$。由$E(X)=2D(X)$得$\displaystyle \frac{B}{2}=1$，$B=2$。归一化系数$\displaystyle A=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$。 （2）$\displaystyle X\sim N(1,\frac12)$，$\displaystyle E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\frac12+1=\frac32$，$\displaystyle E(e^X)=\mathrm{e}^{E(X)+\frac{D(X)}{2}}=\mathrm{e}^{1+\frac14}=\mathrm{e}^{5/4}$，故和为$\displaystyle \frac32+\mathrm{e}^{5/4}$。 （3）$Y=|\sqrt{2}(X-1)|$，令$Z=\sqrt{2}(X-1)\sim N(0,1)$，则$Y=|Z|$，分布函数$F(y)=P(|Z|\le y)=2\Phi(y)-1$（$y\ge0$）。 **难度**：★★★★☆