kaoyan1basic 概率论与数理统计 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（选择题） 9．设 $X, Y$ 是两个相互独立且均服从正态分布 $\displaystyle N\left(0,\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right)$ 的随机变量，则随机变量 $|X-Y|$的数学期望 $E(|X-Y|)=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3 \pi}}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ （C）$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}}$ （D）$\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： $\displaystyle X,Y\sim N(0,\frac12)$独立，则$X-Y\sim N(0,1)$。$\displaystyle E(|X-Y|)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定X-Y的分布
由于X和Y相互独立且均服从正态分布N(0, (1/√2)^2)，即方差为1/2，则X-Y服从正态分布，均值为0，方差为Var(X)+Var(Y)=1/2+1/2=1，因此X-Y ~ N(0,1)。
公式：若X~N(μ1,σ1^2), Y~N(μ2,σ2^2)独立，则X-Y~N(μ1-μ2, σ1^2+σ2^2)
提示：注意方差相加，均值相减。
步骤 2/2
目标：计算|X-Y|的数学期望
设Z=X-Y，则Z~N(0,1)，需求E(|Z|)。对于标准正态分布，E(|Z|)=√(2/π)。
公式：若Z~N(0,1)，则E(|Z|)=√(2/π)
提示：利用正态分布对称性和积分公式。
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