kaoyan1basic 概率论与数理统计 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（解答题） 7．在 $(0,1)$ 线段上随机投掷两点，该两点的距离为 $X$ ，求： （1）$X$ 的分布函数 $F(x)$ 和概率密度 $f(x)$ ； （2）$X$ 的数学期望 $E(X)$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）$F(x)=\begin{cases}0, & x<0 \\ 2x-x^2, & 0\le x<1 \\ 1, & x\ge1\end{cases}$，$f(x)=\begin{cases}2-2x, & 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立概率模型，明确随机变量X的定义
设两点的坐标分别为U和V，独立服从(0,1)上的均匀分布，则距离X = |U - V|。
公式：U, V ~ Uniform(0,1) 独立
提示：注意两点独立同分布，且均匀分布。
步骤 2/4
目标：求分布函数F(x)=P(X≤x)
对于0≤x<1，利用几何概率：在单位正方形内，满足|U-V|≤x的区域面积等于1减去两个三角形面积，即1 - (1-x)^2。因此F(x)=2x-x^2。当x<0时F(x)=0，x≥1时F(x)=1。
公式：F(x)=1 - (1-x)^2 = 2x - x^2, 0≤x<1
提示：利用补集和面积法，注意正方形边长为1。
步骤 3/4
目标：求概率密度函数f(x)
对分布函数求导：f(x)=F'(x)=2-2x，0
公式：f(x)=2-2x, 0
提示：注意在端点处密度为0或可定义，不影响积分。
步骤 4/4
目标：计算数学期望E(X)
E(X)=∫_0^1 x f(x) dx = ∫_0^1 x(2-2x) dx = [x^2 - (2/3)x^3]_0^1 = 1 - 2/3 = 1/3。
公式：E(X)=∫_0^1 x(2-2x)dx = 1/3
提示：直接积分即可。
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