kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布，则 $X$ 落在数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 之间的概率为 $\_\_\_\_$。

💡 答案解析

**答案**：$\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-2}$ **解析**： $X\sim E(\lambda)$，$\displaystyle E(X)=\frac1\lambda$，$\displaystyle D(X)=\frac1{\lambda^2}$。 $\displaystyle P\left(\frac1\lambda1$时，$\displaystyle \frac1\lambda>\frac1{\lambda^2}$，区间为空；当$0<\lambda<1$时，$\displaystyle \frac1\lambda<\frac1{\lambda^2}$。通常$\lambda>0$，但题目未指定，默认$\lambda>0$，则$\displaystyle \frac1\lambda$与$\displaystyle \frac1{\lambda^2}$大小不确定。常见情形取$\lambda=1$？题目无具体值，应得表达式。 实际上，$\displaystyle P(E(X)

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：确定指数分布的数学期望和方差
对于参数为λ的指数分布，数学期望E(X)=1/λ，方差D(X)=1/λ²。
公式：E(X)=1/λ, D(X)=1/λ²
提示：指数分布的期望和方差是基本公式，需牢记。
步骤 2/4
目标：计算概率P(E(X) < X < D(X))
需要计算P(1/λ < X < 1/λ²)。注意：当λ>1时，1/λ > 1/λ²，区间为空，概率为0；当0<λ<1时，1/λ < 1/λ²，概率为∫_{1/λ}^{1/λ²} λe^{-λx} dx。
公式：P(a
提示：注意区间端点的大小关系，需分情况讨论。
步骤 3/4
目标：计算积分
计算∫_{1/λ}^{1/λ²} λe^{-λx} dx = [-e^{-λx}]_{1/λ}^{1/λ²} = e^{-1} - e^{-1/λ}。
公式：∫ λe^{-λx} dx = -e^{-λx} + C
提示：积分时注意代入上下限。
步骤 4/4
目标：得出最终概率表达式
概率为e^{-1} - e^{-1/λ}。但题目答案给出的是e^{-1} - e^{-2}，这暗示可能默认λ=1或特殊情形。实际上，常见情形下，当λ=1时，E(X)=1，D(X)=1，区间为(1,1)空集，概率为0，矛盾。因此题目可能隐含λ使得1/λ² > 1/λ，即λ<1，且答案中e^{-2}对应1/λ=2，即λ=1/2。但解析中未明确，故按一般表达式。
公式：P = e^{-1} - e^{-1/λ}
提示：注意题目答案与一般表达式的差异，可能题目有特定条件。

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