kaoyan1basic 概率论与数理统计 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（选择题） 15．独立重复拋掷一枚均匀硬币两次，记
$$ X_{i}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { 出现正面, } \\ 0, & \text { 出现反面, } $\end{array} i=1,2,\right.$ $$
则 $X_{1}+X_{2}$ 与 $X_{1}-X_{2}$（ ）。 （A）独立，不相关 （B）不独立，不相关 （C）独立，相关 （D）不独立，相关
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$X_1,X_2$独立同分布，$P(X_i=1)=P(X_i=0)=1/2$。 步骤2：令$U=X_1+X_2$，$V=X_1-X_2$。$U$取值0,1,2；$V$取值-1,0,1。 步骤3：计算$P(U=0,V=0)=P(X_1=0,X_2=0)=1/4$，$P(U=1,V=1)=P(X_1=1,X_2=0)=1/4$，$P(U=1,V=-1)=P(X_1=0,X_2=1)=1/4$，$P(U=2,V=0)=P(X_1=1,X_2=1)=1/4$。 步骤4：$P(U=1)=1/2$，$P(V=0)=1/2$，而$P(U=1,V=0)=0\neq P(U=1)P(V=0)$，故不独立。 步骤5：$\text{Cov}(U,V)=\text{Cov}(X_1+X_2,X_1-X_2)=D(X_1)-D(X_2)=0$，故不相关。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定随机变量分布
X1和X2独立同分布，P(Xi=1)=P(Xi=0)=1/2。
提示：注意独立同分布条件。
步骤 2/5
目标：定义新变量并列出可能取值
令U=X1+X2，V=X1-X2。U取值0,1,2；V取值-1,0,1。
提示：明确所有可能组合。
步骤 3/5
目标：计算联合概率分布
P(U=0,V=0)=P(X1=0,X2=0)=1/4；P(U=1,V=1)=P(X1=1,X2=0)=1/4；P(U=1,V=-1)=P(X1=0,X2=1)=1/4；P(U=2,V=0)=P(X1=1,X2=1)=1/4。
提示：利用独立性计算联合概率。
步骤 4/5
目标：判断独立性
P(U=1)=1/2，P(V=0)=1/2，但P(U=1,V=0)=0≠1/4，故不独立。
提示：检查是否对所有组合满足P(UV)=P(U)P(V)。
步骤 5/5
目标：判断相关性
Cov(U,V)=Cov(X1+X2,X1-X2)=D(X1)-D(X2)=0，故不相关。
公式：Cov(U,V)=D(X1)-D(X2)
提示：利用协方差性质简化计算。
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