kaoyan1basic 概率论与数理统计 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（选择题） 16．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 在椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1(a>0, b>0)$ 上服从均匀分布，则（ ）。 （A）$X$ 在区间 $[-a, a]$ 上均匀分布 （B）$X$ 和 $Y$ 必不相关 （C）$Y$ 在区间 $[-b, b]$ 上均匀分布 （D）$X$ 和 $Y$ 相互独立
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$(X,Y)$在椭圆区域$D=\{(x,y):x^2/a^2+y^2/b^2\leq1\}$上均匀分布，面积$S=\pi ab$，故联合密度$f(x,y)=1/(\pi ab)$。 步骤2：$X$的边缘密度$\displaystyle f_X(x)=\int_{-\sqrt{b^2(1-x^2/a^2)}}^{\sqrt{b^2(1-x^2/a^2)}}\frac{1}{\pi ab}dy=\frac{2}{\pi a}\sqrt{1-x^2/a^2}$，$|x|\leq a$，不是均匀分布，故A、C错。 步骤3：$E(X)=0$，$E(Y)=0$，$\displaystyle E(XY)=\iint_D\frac{xy}{\pi ab}dxdy=0$（对称性），故$\text{Cov}(X,Y)=0$，不相关。但$f_X(x)f_Y(y)\neq f(x,y)$，不独立。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定联合概率密度函数
由于(X,Y)在椭圆区域D: x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤ 1上服从均匀分布，椭圆面积S=πab，所以联合密度f(x,y)=1/(πab)，(x,y)∈D。
公式：f(x,y)=1/(πab)
提示：均匀分布的密度函数为区域面积的倒数。
步骤 2/5
目标：计算X的边缘密度函数
对y积分：f_X(x)=∫_{-b√(1-x^2/a^2)}^{b√(1-x^2/a^2)} 1/(πab) dy = (2/(πa))√(1-x^2/a^2)，|x|≤a。
公式：f_X(x)=2/(πa) * √(1-x^2/a^2)
提示：注意积分限由椭圆方程确定。
步骤 3/5
目标：判断选项A和C
f_X(x)不是常数，故X在[-a,a]上不是均匀分布，A错；类似地，Y的边缘密度f_Y(y)=2/(πb)√(1-y^2/b^2)，也不是均匀分布，C错。
提示：均匀分布要求密度为常数。
步骤 4/5
目标：计算协方差判断相关性
由对称性，E(X)=0，E(Y)=0，E(XY)=∬_D xy/(πab) dxdy=0，故Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，所以X与Y不相关。
公式：Cov(X,Y)=0
提示：利用奇函数在对称区域积分为零。
步骤 5/5
目标：判断独立性
f_X(x)f_Y(y) ≠ f(x,y)，因为f_X(x)f_Y(y)是乘积形式，而f(x,y)在椭圆内为常数，两者不相等，故不独立。
提示：独立要求联合密度等于边缘密度的乘积。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。