kaoyan1basic 概率论与数理统计 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且其分布函数 $F(x)$ 为严格单调增加函数，若 $E(X)$存在，且 $E(|X-Y|)=1$ ，则 $X$ 与 $F(X)$ 的协方差为 $\quad$ ）。 （A） 0 （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （D） 1
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$X$与$Y$独立同分布，分布函数$F(x)$严格单调递增，则$U=F(X)\sim U(0,1)$。 步骤2：$E(X)$存在，$E[F(X)]=\int_0^1 u\,du=1/2$。 步骤3：$\text{Cov}(X,F(X))=E[XF(X)]-E(X)E[F(X)]$。由$E(|X-Y|)=1$，且$X,Y$独立同分布，有$E(|X-Y|)=2\int_{-\infty}^{\infty}x[F(x)-1/2]f(x)dx$？常用结论：$\displaystyle E(|X-Y|)=2\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)F(x)dx-2E(X)\cdot\frac{1}{2}$？更直接：$\displaystyle E(|X-Y|)=2\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)F(x)dx-2E(X)\cdot\frac{1}{2}$，但此处需利用$U=F(X)$。 步骤4：由$U\sim U(0,1)$，$X=F^{-1}(U)$，$E[XF(X)]=E[F^{-1}(U)\cdot U]=\int_0^1 uF^{-1}(u)du$。而$E(|X-Y|)=E|F^{-1}(U)-F^{-1}(V)|=1$，其中$U,V$独立$U(0,1)$。由对称性，$E(|X-Y|)=2E[X(2F(X)-1)]$？实际上，$E(|X-Y|)=2E[X(2F(X)-1)]$，故$2E[X(2F(X)-1)]=1$，得$4E[XF(X)]-2E(X)=1$，即$\displaystyle E[XF(X)]=\frac{1+2E(X)}{4}$。 步骤5：$\displaystyle \text{Cov}(X,F(X))=E[XF(X)]-E(X)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1+2E(X)}{4}-\frac{E(X)}{2}=\frac{1}{4}$。 **难度**：★★★★☆