kaoyan1basic 概率论与数理统计 第18题
📝 题目
### 【强化篇】第18题（选择题） 18．设随机变量 $X, Y$ 独立同分布于参数为 1 的指数分布，令 $Z=\max \{X, Y\}, W=\min \{X, Y\}$ ，则 $Z$ 与 $W$ 的相关系数为（ ）。 （A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$ （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}$ （D） 1
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$X,Y\sim Exp(1)$，密度$f(x)=e^{-x}$，$x>0$。 步骤2：$Z=\max\{X,Y\}$，$W=\min\{X,Y\}$。$Z$的分布函数$F_Z(z)=(1-e^{-z})^2$，密度$f_Z(z)=2e^{-z}(1-e^{-z})$；$W$的分布函数$F_W(w)=1-e^{-2w}$，密度$f_W(w)=2e^{-2w}$。 步骤3：$\displaystyle E(Z)=\int_0^\infty z\cdot2e^{-z}(1-e^{-z})dz=2\int_0^\infty ze^{-z}dz-2\int_0^\infty ze^{-2z}dz=2\cdot1-2\cdot\frac{1}{4}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。$\displaystyle E(W)=\int_0^\infty w\cdot2e^{-2w}dw=\frac{1}{2}$。 步骤4：$\displaystyle E(Z^2)=\int_0^\infty z^2\cdot2e^{-z}(1-e^{-z})dz=2\cdot2!-2\cdot\frac{2!}{2^3}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，$\displaystyle D(Z)=\frac{7}{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{7}{2}-\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$。$\displaystyle E(W^2)=\int_0^\infty w^2\cdot2e^{-2w}dw=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2}$，$\displaystyle D(W)=\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$。 步骤5：$E(ZW)=E(XY)=E(X)E(Y)=1\cdot1=1$（因为$ZW=XY$）。$\displaystyle \text{Cov}(Z,W)=E(ZW)-E(Z)E(W)=1-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。 步骤6：$\displaystyle \rho_{ZW}=\frac{\text{Cov}(Z,W)}{\sqrt{D(Z)D(W)}}=\frac{1/4}{\sqrt{(5/4)\cdot(1/4)}}=\frac{1/4}{\sqrt{5}/4}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 **难度**：★★★☆☆