kaoyan1basic 概率论与数理统计 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（填空题） 19．设总体 $X$ 的概率分布如下： $\_\_\_\_$
$$ X \sim\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ $\displaystyle \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}$ $\end{array}\right)$ $$
从总体中抽取 $\pi$ 个简单随机样木，$N_{1}$ 表示 $n$ 个样本中収到 -1 的个数，$N_{2}$ 表示 $n$ 个样本中取到 0 的个数、 $N_{3}$ 表示 $\pi$ 个标木中取到1的个数，则 $N_{1}$ 与 $N_{2}$ 的相关系数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}$ **解析**：步骤1：总体分布$P(X=-1)=1/4$，$P(X=0)=1/2$，$P(X=1)=1/4$。样本容量$n$，$N_1,N_2,N_3$为频数，$(N_1,N_2,N_3)\sim M(n;1/4,1/2,1/4)$。 步骤2：$N_1\sim B(n,1/4)$，$N_2\sim B(n,1/2)$，$\displaystyle \text{Cov}(N_1,N_2)=-n\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{n}{8}$。 步骤3：$\displaystyle D(N_1)=n\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3n}{16}$，$\displaystyle D(N_2)=n\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{n}{4}$。 步骤4：相关系数$\displaystyle \rho_{N_1N_2}=\frac{\text{Cov}(N_1,N_2)}{\sqrt{D(N_1)D(N_2)}}=\frac{-n/8}{\sqrt{(3n/16)\cdot(n/4)}}=\frac{-n/8}{\sqrt{3n^2/64}}=\frac{-n/8}{(\sqrt{3}n)/8}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$。 **难度**：★★☆☆☆