kaoyan1basic 概率论与数理统计 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（选择题） 20．设总体 $X$ 服从谷数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。且对任船的正数 6 。有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-2\right|<\varepsilon\right\}=1$ ，则 $D[|X-D(X)|]=$ ． （A） $\displaystyle 1-\frac{2}{c}$ （B） $\displaystyle 1+\frac{2}{\mathrm{e}}$ （C） $\displaystyle 1-\frac{4}{c^{2}}$ （D） $\displaystyle 1+\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由条件知$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$依概率收敛于2，故$E(X^2)=2$。 步骤2：$X\sim P(\lambda)$，则$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$，$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\lambda+\lambda^2=2$，解得$\lambda=1$（$\lambda>0$）。 步骤3：$D[|X-D(X)|]=D[|X-1|]$。由于$X$取非负整数，$|X-1|$的分布为：$P(|X-1|=0)=P(X=1)=e^{-1}$，$P(|X-1|=k)=P(X=1+k)+P(X=1-k)$，计算得$E(|X-1|)=2e^{-1}$，$E(|X-1|^2)=E[(X-1)^2]=D(X)=1$，故$\displaystyle D(|X-1|)=1-(2e^{-1})^2=1-\frac{4}{e^2}$。 步骤4：选项B为$\displaystyle 1+\frac{2}{e}$，与结果不符，重新检查：题目中$D[|X-D(X)|]$应为$D(|X-1|)$，计算得$\displaystyle 1-\frac{4}{e^2}$，对应选项C。 **难度**：★★★☆☆