kaoyan1basic 概率论与数理统计 第22题
📝 题目
### 【基础篇】第22题（选择题） 22．设 $X_{1}, X_{2}$ 是来自正态总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，并设原假设 $H_{0}: \mu=2$ ，备择假设 $H_{1}$ ： $\mu=4$ ，若拒绝域为 $\displaystyle W=\{\bar{X}>3\}, \bar{X}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} X_{i}$ ，记 $\alpha, \beta$ 分别为犯第一类错误和第二类错误的概率，则 （ ）． （A）$\alpha=\beta=1-\Phi(\sqrt{2})$ （B）$\alpha=1-\Phi(\sqrt{2}), \beta=\Phi(\sqrt{2})$ （C）$\alpha=\Phi(\sqrt{2}), \beta=1-\Phi(\sqrt{2})$ （D）$\alpha=\beta=\Phi(\sqrt{2})$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$H_0:\mu=2$，$\displaystyle \bar{X}\sim N(2,\frac{1}{2})$，$\displaystyle \alpha=P(\bar{X}>3|\mu=2)=P\left(Z>\frac{3-2}{1/\sqrt{2}}\right)=P(Z>\sqrt{2})=1-\Phi(\sqrt{2})$。 步骤2：$H_1:\mu=4$，$\displaystyle \bar{X}\sim N(4,\frac{1}{2})$，$\displaystyle \beta=P(\bar{X}\leq3|\mu=4)=P\left(Z\leq\frac{3-4}{1/\sqrt{2}}\right)=P(Z\leq-\sqrt{2})=\Phi(-\sqrt{2})=1-\Phi(\sqrt{2})$。 **难度**：★★☆☆☆