kaoyan1basic 概率论与数理统计 第23题
📝 题目
### 【基础篇】第23题（填空题） 23．设总体 $X \sim\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ \theta^{2} & 2 \theta(1-\theta) & (1-\theta)^{2}\end{array}\right)$ ，作检验 $H_{0}: \theta=0.1 ; H_{1}: \theta=0.9$ ．抽取 3 个样本，取拒绝域 $W$ 为 $\left\{X_{1}=1, X_{2}=1, X_{3}=1\right\}$ ，则犯第二类错误的概率为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$0.9^9$ **解析**： 步骤1：犯第二类错误的概率$\beta=P(\text{接受}H_0|H_1\text{为真})$，即当$\theta=0.9$时，样本落入拒绝域$W$的补集。 步骤2：拒绝域$W=\{X_1=1,X_2=1,X_3=1\}$，其补集为至少有一个$X_i\neq1$。 步骤3：当$\theta=0.9$时，$P(X=1)=2\theta(1-\theta)=2\times0.9\times0.1=0.18$，$P(X\neq1)=1-0.18=0.82$，但题目中$W$为三个样本全为1，故$\beta=P(\text{不全为1}|\theta=0.9)=1-(0.18)^3=1-0.005832=0.994168$。但选项可能指$P(\text{接受}H_0)=P(\text{样本不全为1})$，即$1-0.18^3$。若拒绝域为$\{X_1=1,X_2=1,X_3=1\}$，则接受域为其余情况，$\beta=1-(0.18)^3$。但题目中$H_0:\theta=0.1$，$H_1:\theta=0.9$，犯第二类错误概率为当$\theta=0.9$时接受$H_0$，即样本不在$W$中，概率为$1-(0.18)^3$。 **难度**：★★★☆☆