kaoyan1basic 概率论与数理统计 第24题
📝 题目
### 【基础篇】第24题（填空题） 24．假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布，已知随机测量的绝对误差不大于 20 米的概率为 0.95 ，则随机测量的标准差 $\sigma=$ $\_\_\_\_$ （保留两位小数）。
强化篇
## 第6章 数字特征
💡 答案解析
**答案**：10.20 **解析**： 步骤1：设测量误差$X\sim N(0,\sigma^2)$，则$P(|X|\leq20)=0.95$，即$\displaystyle P\left(\left|\frac{X}{\sigma}\right|\leq\frac{20}{\sigma}\right)=0.95$。 步骤2：$\displaystyle \frac{X}{\sigma}\sim N(0,1)$，故$\displaystyle \Phi\left(\frac{20}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{20}{\sigma}\right)=2\Phi\left(\frac{20}{\sigma}\right)-1=0.95$，得$\displaystyle \Phi\left(\frac{20}{\sigma}\right)=0.975$，查表得$\displaystyle \frac{20}{\sigma}=1.96$，解得$\displaystyle \sigma=\frac{20}{1.96}\approx10.20$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定随机变量及其分布
设测量误差X服从正态分布，均值为0，标准差为σ，即X~N(0,σ²)。
公式：X~N(0,σ²)
提示：无系统误差意味着均值为0。
步骤 2/4
目标：将概率条件标准化
已知P(|X|≤20)=0.95，将X标准化为Z=X/σ，则Z~N(0,1)，有P(|Z|≤20/σ)=0.95。
公式：P(|Z|≤20/σ)=0.95
提示：标准化后利用标准正态分布。
步骤 3/4
目标：利用标准正态分布性质求解
P(|Z|≤a)=2Φ(a)-1=0.95，得Φ(a)=0.975，其中a=20/σ。查标准正态分布表得a=1.96。
公式：2Φ(a)-1=0.95, Φ(a)=0.975, a=1.96
提示：Φ(1.96)=0.975是常用值。
步骤 4/4
目标：计算标准差σ
由20/σ=1.96，解得σ=20/1.96≈10.20。
公式：σ=20/1.96≈10.20
提示：保留两位小数。
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