kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（填空题） 2．设总体 $X$ 服从均匀分布，其概率密度为 $\displaystyle f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta}, & 0
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{12}\left(\max\limits_{1\leq i\leq n}X_i\right)^2$ **解析**： 步骤1：$X\sim U(0,\theta)$，$\displaystyle D(X)=\frac{\theta^2}{12}$。 步骤2：$\theta$的最大似然估计量为$\hat{\theta}=\max\limits_{1\leq i\leq n}X_i$。 步骤3：由不变性，$D(X)$的最大似然估计量为$\displaystyle \widehat{D(X)}=\frac{1}{12}\left(\max\limits_{1\leq i\leq n}X_i\right)^2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算总体方差D(X)与参数θ的关系
由于X服从均匀分布U(0,θ)，其方差为D(X)=θ²/12。
公式：D(X)=θ²/12
提示：均匀分布的方差公式需牢记。
步骤 2/3
目标：求参数θ的最大似然估计量
对于均匀分布U(0,θ)，θ的最大似然估计量为样本最大值，即̂θ = max_{1≤i≤n} X_i。
公式：̂θ = max_{1≤i≤n} X_i
提示：均匀分布的最大似然估计是次序统计量中的最大值。
步骤 3/3
目标：利用不变性得到方差的最大似然估计量
根据最大似然估计的不变性，若̂θ是θ的MLE，则g(̂θ)是g(θ)的MLE。因此，D(X)的MLE为̂D(X) = (̂θ)²/12 = (max X_i)²/12。
公式：̂D(X) = (max X_i)²/12
提示：不变性原理：MLE在参数变换下保持形式。
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