kaoyan1basic 概率论与数理统计 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X \sim N\left(1, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，$\sigma>0$ 未知，记 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}^{2}$ ，则 $D\left(\hat{\sigma}^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2\sigma^4}{n}$ **解析**： 步骤1：$X\sim N(1,\sigma^2)$，似然函数$\displaystyle L(\sigma^2)=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(X_i-1)^2}{2\sigma^2}}$，解得$\displaystyle \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-1)^2$。 步骤2：$\displaystyle \frac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$，故$\displaystyle D(\hat{\sigma}^2)=\frac{\sigma^4}{n^2}D(\chi^2(n))=\frac{\sigma^4}{n^2}\cdot2n=\frac{2\sigma^4}{n}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求最大似然估计量
总体X~N(1,σ²)，似然函数L(σ²)=∏(1/√(2πσ²))exp(-(X_i-1)²/(2σ²))，取对数求导得σ²的MLE为(1/n)∑(X_i-1)²。
公式：L(σ²)=∏_{i=1}^n (1/√(2πσ²)) e^{-(X_i-1)²/(2σ²)}
提示：注意总体均值已知为1，因此样本减均值平方和除以n。
步骤 2/3
目标：构造卡方分布
由于X_i独立同分布于N(1,σ²)，则(X_i-1)/σ ~ N(0,1)，故∑((X_i-1)/σ)² ~ χ²(n)，即nσ̂²/σ² ~ χ²(n)。
公式：nσ̂²/σ² ~ χ²(n)
提示：卡方分布的自由度为n。
步骤 3/3
目标：计算方差
由卡方分布性质，D(χ²(n))=2n，因此D(nσ̂²/σ²)=2n，即(n²/σ⁴)D(σ̂²)=2n，解得D(σ̂²)=2σ⁴/n。
公式：D(χ²(n))=2n
提示：注意方差性质：D(aX)=a²D(X)。
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