kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【基础篇】第22题（填空题） 22． $\int_{-\infty}^{+\infty}|x| \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：$\int_{-\infty}^{+\infty}|x|e^{-x^2}\mathrm{d}x = 2\int_{0}^{+\infty}x e^{-x^2}\mathrm{d}x$。 步骤2：令$u=x^2$，则$\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$，积分化为$\int_{0}^{+\infty}e^{-u}\mathrm{d}u = 1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用奇偶性简化积分
被积函数 |x|e^{-x^2} 是偶函数，因此积分区间对称，可化为 2 倍的正半轴积分：∫_{-∞}^{+∞} |x|e^{-x^2} dx = 2∫_{0}^{+∞} x e^{-x^2} dx。
公式：∫_{-a}^{a} f(x) dx = 2∫_{0}^{a} f(x) dx，当 f(x) 为偶函数
提示：注意 |x| 是偶函数，e^{-x^2} 也是偶函数，乘积仍为偶函数。
步骤 2/3
目标：换元积分
令 u = x^2，则 du = 2x dx，即 x dx = du/2。当 x=0 时 u=0，x→+∞ 时 u→+∞。积分化为 2∫_{0}^{+∞} e^{-u} * (du/2) = ∫_{0}^{+∞} e^{-u} du。
公式：∫ x e^{-x^2} dx = -1/2 e^{-x^2} + C
提示：换元后注意积分限的变化，以及常数因子的处理。
步骤 3/3
目标：计算积分值
∫_{0}^{+∞} e^{-u} du = [-e^{-u}]_{0}^{+∞} = 0 - (-1) = 1。
公式：∫_{0}^{+∞} e^{-u} du = 1
提示：e^{-∞}=0，e^{0}=1。
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