kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设 $f(x)=x, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos x, & x \leqslant \pi, \\ 0, & x>\pi,\end{array}\right.$ 求 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) g(x-t) \mathrm{d} t(x \geqslant 0)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$F(x)=\begin{cases} 1-\cos x, & 0\leq x\leq \pi \\ 2, & x>\pi \end{cases}$ **解析**： 步骤1：$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)g(x-t)\mathrm{d}t$，其中$f(t)=t$，$g(x-t)=\begin{cases} \cos(x-t), & x-t\leq\pi \\ 0, & x-t>\pi \end{cases}$，即$t\geq x-\pi$时$g=0$。 步骤2：当$0\leq x\leq\pi$时，$x-t\leq\pi$恒成立，故$F(x)=\int_{0}^{x}t\cos(x-t)\mathrm{d}t$。令$u=x-t$，则$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$，$t=x-u$，$u$从$x$到$0$， $F(x)=\int_{0}^{x}(x-u)\cos u\mathrm{d}u = x\int_{0}^{x}\cos u\mathrm{d}u - \int_{0}^{x}u\cos u\mathrm{d}u = x\sin x - (\cos x + x\sin x -1) = 1-\cos x$。 步骤3：当$x>\pi$时，$g(x-t)=0$当$t