kaoyan1basic 高等数学 第104题
📝 题目
### 第104题 二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ． Q
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{e}$ **解析**： 步骤1：定义域$y>0$。求驻点：$f_x=2x(2+y^2)=0$得$x=0$；$f_y=x^2\cdot2y+\ln y+1=2x^2y+\ln y+1=0$，代入$x=0$得$\ln y+1=0$，故$y=e^{-1}$。 步骤2：求二阶偏导：$f_{xx}=2(2+y^2)$，$f_{xy}=4xy$，$\displaystyle f_{yy}=2x^2+\frac{1}{y}$。在$(0,e^{-1})$处，$A=2(2+e^{-2})>0$，$B=0$，$C=e>0$，$AC-B^2>0$，故为极小值点。 步骤3：极小值$\displaystyle f(0,e^{-1})=0^2(2+e^{-2})+e^{-1}\ln e^{-1}=0+ e^{-1}\cdot(-1)=-\frac{1}{e}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定定义域并求驻点
由函数表达式，$y>0$。求偏导数：$f_x=2x(2+y^2)=0$，得$x=0$；$f_y=2x^2y+\ln y+1=0$，代入$x=0$得$\ln y+1=0$，解得$y=e^{-1}$。因此驻点为$(0, e^{-1})$。
公式：$f_x=2x(2+y^2)=0$，$f_y=2x^2y+\ln y+1=0$
提示：注意定义域$y>0$，求偏导时对$y$求导要小心$\ln y$的导数。
步骤 2/3
目标：判断驻点类型
计算二阶偏导数：$f_{xx}=2(2+y^2)$，$f_{xy}=4xy$，$f_{yy}=2x^2+\frac{1}{y}$。在驻点$(0, e^{-1})$处，$A=f_{xx}=2(2+e^{-2})>0$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=e>0$。判别式$AC-B^2=2(2+e^{-2})\cdot e>0$，且$A>0$，故该点为极小值点。
公式：$AC-B^2>0$且$A>0$为极小值
提示：计算二阶偏导时注意$f_{yy}$中$\frac{1}{y}$在$y=e^{-1}$时等于$e$。
步骤 3/3
目标：计算极小值
将驻点$(0, e^{-1})$代入原函数：$f(0, e^{-1})=0^2\cdot(2+e^{-2})+e^{-1}\ln e^{-1}=0+e^{-1}\cdot(-1)=-\frac{1}{e}$。
公式：$f(0, e^{-1})=-\frac{1}{e}$
提示：注意$\ln e^{-1}=-1$。
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