kaoyan1basic 高等数学 第105题
📝 题目
### 第105题 设方程式 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0$ 确定某隐函数 $z=z(x, y)>0$ ，则 $z=z(x, y)$ 的极 $\_\_\_\_$值点是 $\_\_\_\_$ ，相应的极值是 $\_\_\_\_$。 答题 区
💡 答案解析
**答案**：极大值点，$(1,1)$，$6$ **解析**： 步骤1：方程化为$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=16$，故$z=2\pm\sqrt{16-(x-1)^2-(y-1)^2}$，取$z>0$时取正号。 步骤2：$z$的极值即根号部分极值，当$(x-1)^2+(y-1)^2=0$时$z$最大，故极大值点为$(1,1)$，极大值$z=2+4=6$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将方程化为标准形式
将原方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2y-4z-10=0$ 配方，得到 $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=16$。
公式：$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=16$
提示：配方时注意各项系数的处理。
步骤 2/4
目标：解出隐函数表达式
由球面方程解出 $z=2\pm\sqrt{16-(x-1)^2-(y-1)^2}$，根据 $z>0$ 取正号：$z=2+\sqrt{16-(x-1)^2-(y-1)^2}$。
公式：$z=2+\sqrt{16-(x-1)^2-(y-1)^2}$
提示：注意根号内非负，且 $z>0$ 条件。
步骤 3/4
目标：求极值点
$z$ 的极值取决于根号部分，根号在 $(x-1)^2+(y-1)^2=0$ 时取最大值，即 $x=1,y=1$ 时根号最大，故极值点为 $(1,1)$。
提示：根号内平方和最小为0。
步骤 4/4
目标：计算极值
代入 $x=1,y=1$ 得 $z=2+\sqrt{16}=2+4=6$，且为极大值。
公式：$z_{\max}=6$
提示：注意是极大值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。