kaoyan1basic 高等数学 第106题
📝 题目
### 第106题 设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\int_0^a\mathrm{d}x\int_{x^2/a}^{2a-x}f(x,y)\mathrm{d}y$ **解析**： 步骤1：第一个积分区域：$0\le y\le a$，$0\le x\le\sqrt{ay}$，即$x^2\le ay$，$y\ge x^2/a$，且$0\le x\le a$。 步骤2：第二个积分区域：$a\le y\le 2a$，$0\le x\le 2a-y$，即$x\le 2a-y$，$y\le 2a-x$，且$0\le x\le a$。 步骤3：合并后$x$从0到$a$，$y$从下界$x^2/a$到上界$2a-x$，故交换后为$\int_0^a\mathrm{d}x\int_{x^2/a}^{2a-x}f(x,y)\mathrm{d}y$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析第一个积分区域
第一个积分：y从0到a，x从0到√(ay)。由x=√(ay)得x²=ay，即y=x²/a。x的范围：当y=0时x=0，当y=a时x=a，所以x从0到a。
公式：x² = a y
提示：注意将x的上下限转化为y关于x的函数。
步骤 2/3
目标：分析第二个积分区域
第二个积分：y从a到2a，x从0到2a-y。由x=2a-y得y=2a-x。x的范围：当y=a时x=a，当y=2a时x=0，所以x从0到a。
公式：y = 2a - x
提示：注意x的范围与第一个积分一致。
步骤 3/3
目标：合并区域并确定积分次序
两个区域合并后，x从0到a，y的下界为x²/a，上界为2a-x。因此交换积分次序后为∫₀ᵃ dx ∫_{x²/a}^{2a-x} f(x,y) dy。
公式：∫₀ᵃ dx ∫_{x²/a}^{2a-x} f(x,y) dy
提示：确保上下界正确，且x的范围一致。
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