kaoyan1basic 高等数学 第107题
📝 题目
### 第107题 交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\int_0^1\mathrm{d}y\int_{\sqrt{y}}^{3-2y}f(x,y)\mathrm{d}x$ **解析**： 步骤1：第一个积分区域：$0\le x\le1$，$0\le y\le x^2$，即$y\le x^2$，$x\ge\sqrt{y}$，且$0\le y\le1$。 步骤2：第二个积分区域：$1\le x\le3$，$\displaystyle 0\le y\le\frac{1}{2}(3-x)$，即$\displaystyle y\le\frac{3-x}{2}$，$x\le3-2y$，且$0\le y\le1$。 步骤3：合并后$y$从0到1，$x$从下界$\sqrt{y}$到上界$3-2y$，故交换后为$\int_0^1\mathrm{d}y\int_{\sqrt{y}}^{3-2y}f(x,y)\mathrm{d}x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析第一个积分区域
第一个积分：x从0到1，y从0到x^2。因此区域由x=0, x=1, y=0, y=x^2围成。在x-y平面上，y=x^2是抛物线，x∈[0,1]时y∈[0,1]。
公式：0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x^2
提示：注意抛物线y=x^2在x∈[0,1]上单调递增，反函数为x=√y。
步骤 2/5
目标：分析第二个积分区域
第二个积分：x从1到3，y从0到(3-x)/2。区域由x=1, x=3, y=0, y=(3-x)/2围成。直线y=(3-x)/2与x轴交于(3,0)，与y轴交于(0,1.5)，但x从1到3，所以y∈[0,1]。
公式：1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ (3-x)/2
提示：直线y=(3-x)/2可化为x=3-2y，当y=0时x=3，当y=1时x=1。
步骤 3/5
目标：合并区域并确定y的范围
两个区域在y方向上的公共范围是y从0到1。因为第一个区域y∈[0,1]（x=1时y=1），第二个区域y∈[0,1]（x=1时y=1）。所以交换次序后y从0到1。
公式：0 ≤ y ≤ 1
提示：注意两个区域在y=1处相接。
步骤 4/5
目标：确定x的上下限
对于固定的y，x的范围：从左边边界到右边边界。左边边界：第一个区域中x从√y开始（因为y=x^2，x≥0），第二个区域中x从1开始，但√y在y∈[0,1]时小于等于1，所以下界是√y。右边边界：第一个区域中x最大为1，第二个区域中x最大为3-2y，且3-2y在y∈[0,1]时从3到1，所以上界是3-2y。因此x从√y到3-2y。
公式：√y ≤ x ≤ 3-2y
提示：注意比较√y和1的大小：当y∈[0,1]时，√y≤1；比较1和3-2y：当y∈[0,1]时，3-2y≥1，所以上界取3-2y。
步骤 5/5
目标：写出交换次序后的积分
综合以上，交换积分次序后得到∫_{y=0}^{1} dy ∫_{x=√y}^{3-2y} f(x,y) dx。
公式：∫_0^1 dy ∫_{√y}^{3-2y} f(x,y) dx
提示：注意积分次序：先对x积分，再对y积分。
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