kaoyan1basic 高等数学 第108题
📝 题目
### 第108题 将直角坐标系下的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{8}(1-e^{-R^2})$ **解析**： 步骤1：积分区域由两部分组成：第一部分$\displaystyle 0\le y\le\frac{\sqrt{2}}{2}R$，$0\le x\le y$；第二部分$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}R\le y\le R$，$0\le x\le\sqrt{R^2-y^2}$。合并后为第一象限内圆$x^2+y^2\le R^2$且$x\le y$的区域，即扇形$\displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{4}$，$0\le r\le R$。 步骤2：转换为极坐标：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，被积函数$e^{-x^2-y^2}=e^{-r^2}$，面积元$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。 步骤3：积分$\displaystyle I=\int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_0^R e^{-r^2}r\mathrm{d}r=\frac{\pi}{4}\cdot\left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^R=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{2}(1-e^{-R^2})=\frac{\pi}{8}(1-e^{-R^2})$。 **难度**：★★★☆☆