kaoyan1basic 高等数学 第109题
📝 题目
### 第109题 交换积分次序 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} r \int_{-\arccos\frac{r}{2}}^{\arccos\frac{r}{2}} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r \mathrm{~d}\theta$ **解析**：积分区域由$\displaystyle \theta\in[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$，$r\in[0,2\cos\theta]$确定。在极坐标下，$r=2\cos\theta$即圆$(x-1)^2+y^2=1$。区域为右半圆内且$\theta$从$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$的部分。交换次序：$r$从$0$到$2$，对每个$r$，$\theta$从$\displaystyle -\arccos\frac{r}{2}$到$\displaystyle \arccos\frac{r}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域
由积分限知，θ从-π/4到π/2，r从0到2cosθ。在极坐标下，r=2cosθ表示圆(x-1)^2+y^2=1。区域是右半圆内且θ从-π/4到π/2的部分。
公式：r=2cosθ ⇒ (x-1)^2+y^2=1
提示：画出区域图，注意θ范围对应圆的上半部分和下半部分。
步骤 2/3
目标：确定交换次序后的积分限
先对θ积分，后对r积分。r从0到2（圆与x轴交点r=0和r=2）。对于固定的r，θ的范围由r=2cosθ解出θ=±arccos(r/2)，且需满足θ∈[-π/4,π/2]，因此θ从-arccos(r/2)到arccos(r/2)。
公式：θ = ±arccos(r/2)
提示：注意arccos的值域为[0,π]，所以-arccos(r/2)≤0≤arccos(r/2)。
步骤 3/3
目标：写出交换次序后的积分
交换后积分次序为∫_{r=0}^{2} dr ∫_{θ=-arccos(r/2)}^{arccos(r/2)} f(rcosθ, rsinθ) r dθ。
公式：∫_{0}^{2} dr ∫_{-arccos(r/2)}^{arccos(r/2)} f(rcosθ, rsinθ) r dθ
提示：被积函数中的r来自面积元rdrdθ，保持不变。
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