kaoyan1basic 高等数学 第110题
📝 题目
### 第110题 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**：积分区域由$x\in[0,1]$，$y$从$1-x$到$\sqrt{1-x^2}$。画出区域，为$x$轴上方、直线$y=1-x$与圆$x^2+y^2=1$围成。交换积分次序：$y\in[0,1]$，$x$从$1-y$到$\sqrt{1-y^2}$。原积分$\displaystyle =\int_0^1\mathrm{d}y\int_{1-y}^{\sqrt{1-y^2}}\frac{x+y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x$。计算内积分：$\displaystyle \int\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)$，$\displaystyle \int\frac{y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x=\arctan\frac{x}{y}$。代入上下限得$\displaystyle \frac{1}{2}\ln\frac{1}{1-2y+2y^2}+\frac{\pi}{4}-\arctan\frac{1-y}{y}$。再对$y$积分，利用对称性和积分技巧得$\displaystyle \frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区域并画出草图
积分区域由 x∈[0,1]，y 从 1-x 到 √(1-x²) 确定。画出区域：直线 y=1-x 与圆 x²+y²=1 在第一象限围成的区域。
提示：注意 y 的下限是 1-x，上限是 √(1-x²)，区域在直线和圆之间。
步骤 2/5
目标：交换积分次序
将积分次序交换为 y 从 0 到 1，x 从 1-y 到 √(1-y²)。原积分变为 ∫₀¹ dy ∫_{1-y}^{√(1-y²)} (x+y)/(x²+y²) dx。
提示：交换次序时，注意 x 的范围由 y 决定：对于固定的 y，x 从直线 x=1-y 到圆 x=√(1-y²)。
步骤 3/5
目标：计算内层积分 ∫ (x+y)/(x²+y²) dx
将积分拆分为两部分：∫ x/(x²+y²) dx + ∫ y/(x²+y²) dx。第一部分积分为 (1/2) ln(x²+y²)，第二部分积分为 arctan(x/y)。
公式：∫ x/(x²+y²) dx = (1/2) ln(x²+y²) + C，∫ y/(x²+y²) dx = arctan(x/y) + C
提示：注意 y 视为常数。
步骤 4/5
目标：代入上下限计算内层积分结果
代入 x 从 1-y 到 √(1-y²)：得到 (1/2)[ln(1) - ln((1-y)²+y²)] + [arctan(√(1-y²)/y) - arctan((1-y)/y)]。化简为 (1/2) ln(1/(1-2y+2y²)) + π/4 - arctan((1-y)/y)。
公式：ln(1)=0，arctan(√(1-y²)/y) = arctan(√(1-y²)/y)，注意当 y>0 时，该值为 π/2 - arctan(y/√(1-y²))，但此处直接保留。
提示：注意 √(1-y²)/y 在 y∈(0,1] 时为正，arctan 值在 (0,π/2) 内。
步骤 5/5
目标：对外层 y 积分
计算 ∫₀¹ [(1/2) ln(1/(1-2y+2y²)) + π/4 - arctan((1-y)/y)] dy。利用对称性和积分技巧，最终结果为 π/4。
公式：∫₀¹ ln(1/(1-2y+2y²)) dy = 0，∫₀¹ arctan((1-y)/y) dy = π/4
提示：可通过变量替换或对称性简化积分。
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