kaoyan1basic 高等数学 第111题
📝 题目
### 第111题 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{6}(\sqrt{2}-1)$ **解析**：积分区域$D:0\le x\le1, x^2\le y\le1$。交换次序：$y\in[0,1]$，$x$从$0$到$\sqrt{y}$。原积分$\displaystyle =\int_0^1\mathrm{d}y\int_0^{\sqrt{y}}\frac{xy}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}x=\int_0^1\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\cdot\frac{1}{2}y\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{y^2}{\sqrt{1+y^3}}\mathrm{d}y$。令$u=1+y^3$，$\mathrm{d}u=3y^2\mathrm{d}y$，积分限$u:1\to2$，得$\displaystyle \frac{1}{6}\int_1^2 u^{-1/2}\mathrm{d}u=\frac{1}{6}\cdot2(\sqrt{2}-1)=\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：交换积分次序
原积分区域为 D: 0≤x≤1, x²≤y≤1。交换次序后，y 从 0 到 1，x 从 0 到 √y。因此原积分 = ∫₀¹ dy ∫₀^{√y} (xy)/√(1+y³) dx。
提示：画出积分区域，确定边界曲线 y=x² 和 y=1，以及 x 的范围。
步骤 2/4
目标：计算内层积分
内层积分 ∫₀^{√y} (xy)/√(1+y³) dx = (y/√(1+y³)) ∫₀^{√y} x dx = (y/√(1+y³)) * (1/2)(√y)² = (y/√(1+y³)) * (1/2) y = (1/2) y²/√(1+y³)。
公式：∫ x dx = x²/2
提示：注意将 y 视为常数，先对 x 积分。
步骤 3/4
目标：化简并积分
原积分 = ∫₀¹ (1/2) y²/√(1+y³) dy = (1/2) ∫₀¹ y²/√(1+y³) dy。令 u = 1+y³，则 du = 3y² dy，即 y² dy = du/3。当 y=0 时 u=1，y=1 时 u=2。积分变为 (1/2) ∫₁² (1/√u) * (du/3) = (1/6) ∫₁² u^{-1/2} du。
公式：∫ u^{-1/2} du = 2√u
提示：换元时注意积分限的变化。
步骤 4/4
目标：计算定积分
(1/6) * [2√u]₁² = (1/6) * (2√2 - 2*1) = (1/6)*2(√2-1) = (√2-1)/3。
提示：注意计算细节，最终结果化简。
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