kaoyan1basic 高等数学 第112题
📝 题目
### 第112题 计算 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\pi \arcsin y} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ **解析**：积分区域$D:0\le y\le1, \arcsin y\le x\le \pi-\arcsin y$。交换次序：$x\in[0,\pi]$，$y$从$0$到$\sin x$。原积分$=\int_0^\pi\mathrm{d}x\int_0^{\sin x}\cos^2 x\mathrm{d}y=\int_0^\pi\cos^2 x\sin x\mathrm{d}x$。令$u=\cos x$，$\mathrm{d}u=-\sin x\mathrm{d}x$，积分限$u:1\to-1$，得$\displaystyle -\int_1^{-1}u^2\mathrm{d}u=\int_{-1}^1u^2\mathrm{d}u=\frac{2}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析积分区域
积分区域为：0 ≤ y ≤ 1，arcsin y ≤ x ≤ π - arcsin y。由于 y = sin x 在 [0, π] 上，当 x ∈ [0, π/2] 时，y = sin x，x = arcsin y；当 x ∈ [π/2, π] 时，y = sin x，x = π - arcsin y。因此区域可表示为：x ∈ [0, π]，y 从 0 到 sin x。
提示：注意 arcsin y 的值域为 [-π/2, π/2]，但题目中 x 的范围是 [arcsin y, π - arcsin y]，结合 y ∈ [0,1] 可知 x ∈ [0, π]。
步骤 2/4
目标：交换积分次序
原积分 I = ∫_{0}^{1} dy ∫_{arcsin y}^{π - arcsin y} cos² x dx。交换次序得：I = ∫_{0}^{π} dx ∫_{0}^{sin x} cos² x dy。
公式：∫_{0}^{1} dy ∫_{arcsin y}^{π - arcsin y} f(x,y) dx = ∫_{0}^{π} dx ∫_{0}^{sin x} f(x,y) dy
提示：交换次序时，需根据区域边界确定新的积分限。
步骤 3/4
目标：计算内层积分
内层积分 ∫_{0}^{sin x} cos² x dy = cos² x * (sin x - 0) = cos² x sin x。
公式：∫_{0}^{sin x} dy = sin x
提示：cos² x 相对于 y 是常数。
步骤 4/4
目标：计算外层积分
I = ∫_{0}^{π} cos² x sin x dx。令 u = cos x，则 du = -sin x dx，当 x=0 时 u=1，x=π 时 u=-1。所以 I = ∫_{1}^{-1} u² (-du) = ∫_{-1}^{1} u² du = [u³/3]_{-1}^{1} = (1/3) - (-1/3) = 2/3。
公式：∫ cos² x sin x dx = -∫ u² du (u=cos x)
提示：注意换元时积分限的变化。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。