kaoyan1basic 高等数学 第113题
📝 题目
### 第113题 计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ． （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**：由对称性，$\iint_{x^2+y^2\le1}2y\mathrm{d}\sigma=0$。$\displaystyle \iint_{x^2+y^2\le1}x^2\mathrm{d}\sigma=\frac{1}{2}\iint_{x^2+y^2\le1}(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma$。极坐标：$\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^2\cdot r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\cdot2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对称性简化积分
由于积分区域关于x轴对称，且被积函数中的2y是奇函数，因此∬2y dσ = 0。原积分化为∬x² dσ。
公式：∬_{x²+y²≤1} 2y dσ = 0
提示：注意奇偶性在对称区域上的应用。
步骤 2/4
目标：将x²转化为极坐标形式
利用对称性，∬x² dσ = 1/2 ∬(x²+y²) dσ。因为x²和y²在圆域上积分相等。
公式：∬_{x²+y²≤1} x² dσ = 1/2 ∬_{x²+y²≤1} (x²+y²) dσ
提示：圆域上x²和y²的积分相等。
步骤 3/4
目标：使用极坐标计算积分
令x=r cosθ, y=r sinθ，则dσ = r dr dθ，积分区域：0≤θ≤2π，0≤r≤1。被积函数x²+y²=r²。积分变为1/2 ∫₀^{2π} dθ ∫₀¹ r²·r dr = 1/2 ∫₀^{2π} dθ ∫₀¹ r³ dr。
公式：∬ f(x,y) dσ = ∫∫ f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
提示：极坐标变换时不要忘记雅可比行列式r。
步骤 4/4
目标：计算定积分
先对r积分：∫₀¹ r³ dr = 1/4。再对θ积分：∫₀^{2π} dθ = 2π。相乘得1/2 × 2π × 1/4 = π/4。
公式：∫₀¹ r³ dr = 1/4, ∫₀^{2π} dθ = 2π
提示：注意积分次序：先r后θ。
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