kaoyan1basic 高等数学 第114题
📝 题目
### 第114题 设 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$ ，则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\pi$ **解析**：圆域$x^2+y^2\le2x+2y$化为$(x-1)^2+(y-1)^2\le2$。令$u=x-1, v=y-1$，则$D':u^2+v^2\le2$。$\iint_D xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{D'}(u+1)(v+1)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。由对称性，$\iint_{D'}u\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\iint_{D'}v\mathrm{d}u\mathrm{d}v=0$，$\iint_{D'}uv\mathrm{d}u\mathrm{d}v=0$。故原积分$=\iint_{D'}1\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\pi\cdot2=2\pi$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将积分区域化为标准圆形式
圆域 x^2+y^2 ≤ 2x+2y 可化为 (x-1)^2+(y-1)^2 ≤ 2，即圆心为 (1,1)，半径为 √2 的圆。
公式：(x-1)^2+(y-1)^2 ≤ 2
提示：配方时注意一次项系数的一半平方。
步骤 2/3
目标：进行坐标平移简化积分
令 u = x-1, v = y-1，则积分区域变为 D': u^2+v^2 ≤ 2，且 xy = (u+1)(v+1) = uv + u + v + 1。
公式：x = u+1, y = v+1
提示：平移变换不改变面积元。
步骤 3/3
目标：利用对称性计算积分
由于 D' 关于 u 轴和 v 轴对称，且被积函数 uv, u, v 均为奇函数，故 ∬_{D'} uv du dv = 0, ∬_{D'} u du dv = 0, ∬_{D'} v du dv = 0。因此原积分 = ∬_{D'} 1 du dv = 区域 D' 的面积 = π * (√2)^2 = 2π。
公式：∬_{D'} uv du dv = 0, ∬_{D'} u du dv = 0, ∬_{D'} v du dv = 0
提示：奇函数在对称区域上的积分为零。
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