kaoyan1basic 高等数学 第115题
📝 题目
### 第115题 设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$2\ln(1+\sqrt{2})$ **解析**：积分区域为正方形$[0,1]\times[0,1]$。$\displaystyle \iint_D\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}}$。内积分$\displaystyle \int_0^1\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\ln(y+\sqrt{x^2+y^2})\big|_0^1=\ln(1+\sqrt{1+x^2})-\ln|x|$。再对$x$积分：$\int_0^1\ln(1+\sqrt{1+x^2})\mathrm{d}x-\int_0^1\ln x\mathrm{d}x$。前者计算得$\ln(1+\sqrt{2})+\sqrt{2}-1$，后者为$1$，相减得$2\ln(1+\sqrt{2})$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将二重积分化为累次积分
积分区域为正方形 [0,1]×[0,1]，因此先对 y 积分，再对 x 积分：∬_D dxdy/√(x^2+y^2) = ∫_0^1 dx ∫_0^1 dy/√(x^2+y^2)。
公式：∬_D f(x,y) dxdy = ∫_a^b dx ∫_c^d f(x,y) dy
提示：注意积分限的对应关系。
步骤 2/6
目标：计算内层积分 ∫_0^1 dy/√(x^2+y^2)
将 x 视为常数，使用公式 ∫ dy/√(a^2+y^2) = ln(y+√(a^2+y^2)) + C，其中 a=x。代入上下限得：∫_0^1 dy/√(x^2+y^2) = ln(1+√(1+x^2)) - ln|x|。由于 x>0，|x|=x。
公式：∫ dy/√(a^2+y^2) = ln(y+√(a^2+y^2)) + C
提示：注意绝对值处理，x 在 (0,1] 上为正。
步骤 3/6
目标：将内层积分结果代入外层积分
原积分 = ∫_0^1 [ln(1+√(1+x^2)) - ln x] dx = ∫_0^1 ln(1+√(1+x^2)) dx - ∫_0^1 ln x dx。
提示：拆分为两个积分分别计算。
步骤 4/6
目标：计算 ∫_0^1 ln x dx
∫_0^1 ln x dx = [x ln x - x]_0^1 = (1·0 - 1) - (0 - 0) = -1，因此 -∫_0^1 ln x dx = 1。
公式：∫ ln x dx = x ln x - x + C
提示：注意下限处极限为0。
步骤 5/6
目标：计算 ∫_0^1 ln(1+√(1+x^2)) dx
令 I = ∫_0^1 ln(1+√(1+x^2)) dx。使用分部积分法，令 u = ln(1+√(1+x^2)), dv = dx，则 du = (x/(√(1+x^2)(1+√(1+x^2)))) dx, v = x。于是 I = [x ln(1+√(1+x^2))]_0^1 - ∫_0^1 x^2/(√(1+x^2)(1+√(1+x^2))) dx。第一项代入上下限得 1·ln(1+√2) - 0 = ln(1+√2)。第二项化简：令 t = √(1+x^2)，则 x^2 = t^2-1, dx = t/√(t^2-1) dt，但更简单的方法是：注意到 x^2/(√(1+x^2)(1+√(1+x^2))) = (√(1+x^2)-1)/√(1+x^2) = 1 - 1/√(1+x^2)。因此第二项 = ∫_0^1 (1 - 1/√(1+x^2)) dx = [x - ln(x+√(1+x^2))]_0^1 = (1 - ln(1+√2)) - (0 - ln1) = 1 - ln(1+√2)。所以 I = ln(1+√2) - (1 - ln(1+√2)) = 2 ln(1+√2) - 1。
公式：分部积分公式 ∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：化简被积函数是关键步骤。
步骤 6/6
目标：合并结果
原积分 = I - ∫_0^1 ln x dx = (2 ln(1+√2) - 1) + 1 = 2 ln(1+√2)。
提示：注意符号。
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