kaoyan1basic 高等数学 第116题
📝 题目
### 第116题 设 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{8}{3}$ **解析**：区域$D=[-1,1]\times[0,2]$。被积函数带绝对值，分界曲线$y=x^2$。将$D$分为$D_1:y\ge x^2$和$D_2:y\le x^2$。$I=\iint_{D_1}\sqrt{y-x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint_{D_2}\sqrt{x^2-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。计算：$\displaystyle \iint_{D_1}\sqrt{y-x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^2\sqrt{y-x^2}\mathrm{d}y=\int_{-1}^1\frac{2}{3}(2-x^2)^{3/2}\mathrm{d}x=\frac{4}{3}\int_0^1(2-x^2)^{3/2}\mathrm{d}x$（偶函数）。$\displaystyle \iint_{D_2}\sqrt{x^2-y}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_0^{x^2}\sqrt{x^2-y}\mathrm{d}y=\int_{-1}^1\frac{2}{3}|x|^3\mathrm{d}x=\frac{4}{3}\int_0^1x^3\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$。第一部分计算得$\displaystyle \frac{7}{3}$，总和为$\displaystyle \frac{8}{3}$。 **难度**：★★★☆☆