kaoyan1basic 高等数学 第117题

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### 第117题 已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 －纠错笔记

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}(\mathrm{e}-1)$ **解析**：$f(t)=\int_0^t\mathrm{d}x\int_x^t\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y$。交换积分次序：$y\in[0,t]$，$x\in[0,y]$，得$f(t)=\int_0^t\mathrm{d}y\int_0^y\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}x=\int_0^t y\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y$。求导：$f'(t)=\int_0^t y\cdot y^2\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y + t\cdot t\mathrm{e}^{t\cdot t^2}$（莱布尼茨公式）$=\int_0^t y^3\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y + t^2\mathrm{e}^{t^3}$。令$t=1$，$f'(1)=\int_0^1 y^3\mathrm{e}^{y^2}\mathrm{d}y + \mathrm{e}$。计算积分：令$u=y^2$，$\displaystyle \int_0^1 y^3\mathrm{e}^{y^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\int_0^1 u\mathrm{e}^u\mathrm{d}u=\frac{1}{2}(u\mathrm{e}^u-\mathrm{e}^u)\big|_0^1=\frac{1}{2}$。故$\displaystyle f'(1)=\frac{1}{2}+\mathrm{e}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：交换积分次序简化f(t)
原积分区域：x从0到t，y从x到t。交换次序后：y从0到t，x从0到y。得f(t)=∫_0^t dy ∫_0^y e^{t y^2} dx = ∫_0^t y e^{t y^2} dy。
公式：∫_0^t dx ∫_x^t e^{t y^2} dy = ∫_0^t dy ∫_0^y e^{t y^2} dx
提示：交换积分次序时，先画出积分区域，确定新积分限。
步骤 2/5
目标：对f(t)求导
利用莱布尼茨公式：f'(t)=∫_0^t ∂/∂t (y e^{t y^2}) dy + (t e^{t·t^2})·1 = ∫_0^t y^3 e^{t y^2} dy + t^2 e^{t^3}。
公式：d/dt ∫_0^t g(t,y) dy = ∫_0^t ∂g/∂t dy + g(t,t)
提示：注意被积函数含参数t，求导时需考虑积分上限也含t。
步骤 3/5
目标：代入t=1
f'(1)=∫_0^1 y^3 e^{y^2} dy + 1^2·e^{1^3} = ∫_0^1 y^3 e^{y^2} dy + e。
步骤 4/5
目标：计算积分∫_0^1 y^3 e^{y^2} dy
令u=y^2，则du=2y dy，y^3 dy = (1/2) u du。积分变为(1/2)∫_0^1 u e^u du。分部积分：∫ u e^u du = u e^u - e^u + C。代入上下限得(1/2)[(1·e^1 - e^1) - (0·e^0 - e^0)] = (1/2)(0 + 1) = 1/2。
公式：∫ u e^u du = u e^u - e^u + C
提示：换元后注意积分限变化，分部积分时选择u为多项式。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
f'(1)=1/2 + e。

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