kaoyan1basic 高等数学 第118题

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{\pi}\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{\pi}{4}+y^2$（即$\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{4}+y^2$） **解析**：设$A=\iint_{x^2+y^2\le1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$，则$\displaystyle f(x,y)=\frac{A}{\pi}\sqrt{x^2+y^2}+y^2$。两边在单位圆上积分：$\displaystyle A=\frac{A}{\pi}\iint_{x^2+y^2\le1}\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}\sigma+\iint_{x^2+y^2\le1}y^2\mathrm{d}\sigma$。极坐标：$\displaystyle \iint\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r\cdot r\mathrm{d}r=2\pi\cdot\frac{1}{3}=\frac{2\pi}{3}$。$\displaystyle \iint y^2\mathrm{d}\sigma=\frac{1}{2}\iint(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^2\cdot r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\cdot2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{4}$。代入得$\displaystyle A=\frac{A}{\pi}\cdot\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{2A}{3}+\frac{\pi}{4}$，解得$\displaystyle A=\frac{3\pi}{4}$。故$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{\pi}\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{3\pi}{4}+y^2=\frac{3}{4}\sqrt{x^2+y^2}+y^2$。 **难度**：★★★☆☆