kaoyan1basic 高等数学 第119题
📝 题目
### 第119题 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2}\right\}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}(\mathrm{e}^4-1)$ **解析**：极坐标：$\iint_D x^2\ln(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\mathrm{d}\theta\int_1^{\mathrm{e}} r^2\ln(r^2)\cdot r\mathrm{d}r$。$\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\mathrm{d}\theta=\pi$。$\int_1^{\mathrm{e}} r^3\cdot2\ln r\mathrm{d}r=2\int_1^{\mathrm{e}} r^3\ln r\mathrm{d}r$。分部积分：$\displaystyle \int r^3\ln r\mathrm{d}r=\frac{r^4}{4}\ln r-\frac{r^4}{16}$，代入得$\displaystyle 2\left(\frac{\mathrm{e}^4}{4}-\frac{\mathrm{e}^4}{16}+\frac{1}{16}\right)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^4-1)$。相乘得$\displaystyle \pi\cdot\frac{1}{2}(\mathrm{e}^4-1)=\frac{\pi}{2}(\mathrm{e}^4-1)$。 **难度**：★★★☆☆