kaoyan1basic 高等数学 第120题
📝 题目
### 第120题 设积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2, y=0$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}(\mathrm{e}^4-1)$ **解析**：区域$D$由$y=0, y=\ln x, x=2$围成，即$x\in[1,2]$，$y\in[0,\ln x]$。原积分$\displaystyle =\int_1^2\mathrm{d}x\int_0^{\ln x}\frac{\mathrm{e}^{xy}}{x^x-1}\mathrm{d}y$。内积分$\displaystyle \int_0^{\ln x}\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}y=\frac{1}{x}(\mathrm{e}^{x\ln x}-1)=\frac{1}{x}(x^x-1)$。故原积分$\displaystyle =\int_1^2\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域D的表示
曲线y=ln x与直线x=2, y=0围成的区域，x从1到2，y从0到ln x。
提示：注意ln x在x=1时为0，所以x下限为1。
步骤 2/5
目标：将二重积分化为累次积分
∬_D f(x,y) dσ = ∫_{x=1}^2 dx ∫_{y=0}^{ln x} (e^{xy}/(x^x-1)) dy
公式：∫∫_D f(x,y) dσ = ∫_a^b dx ∫_{y1(x)}^{y2(x)} f(x,y) dy
提示：先对y积分，再对x积分。
步骤 3/5
目标：计算内层积分∫_0^{ln x} e^{xy} dy
∫_0^{ln x} e^{xy} dy = (1/x) e^{xy} |_0^{ln x} = (1/x)(e^{x ln x} - 1) = (1/x)(x^x - 1)
公式：∫ e^{xy} dy = (1/x) e^{xy} + C
提示：注意e^{x ln x} = x^x。
步骤 4/5
目标：代入内层积分结果，化简被积函数
原积分 = ∫_1^2 [ (1/x)(x^x - 1) / (x^x - 1) ] dx = ∫_1^2 (1/x) dx
提示：分子分母约去(x^x - 1)。
步骤 5/5
目标：计算外层积分
∫_1^2 (1/x) dx = ln x |_1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2
公式：∫ (1/x) dx = ln|x| + C
提示：ln 1 = 0。
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