kaoyan1basic 高等数学 第26题
📝 题目
### 【强化篇】第26题（选择题） 26．反常积分 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos x \mathrm{~d} x()$ 。 （A）取值为正 （B）取值为负 （C）取值为 0 （D）发散
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：计算反常积分。$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\infty} e^{-x} \cos x dx = \lim_{b\to+\infty} \int_{-\frac{\pi}{2}}^b e^{-x} \cos x dx$。 步骤2：用分部积分或公式。$\displaystyle \int e^{-x}\cos x dx = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2} + C$。则$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^b e^{-x}\cos x dx = \frac{e^{-b}(\sin b - \cos b)}{2} - \frac{e^{\pi/2}(\sin(-\pi/2) - \cos(-\pi/2))}{2} = \frac{e^{-b}(\sin b - \cos b)}{2} - \frac{e^{\pi/2}(-1 - 0)}{2} = \frac{e^{-b}(\sin b - \cos b)}{2} + \frac{e^{\pi/2}}{2}$。 步骤3：取极限$b\to+\infty$，$e^{-b}\to0$，$\sin b - \cos b$有界，故极限为$\displaystyle \frac{e^{\pi/2}}{2}>0$。故积分收敛且为正。 **难度**：★★☆☆☆