kaoyan1basic 高等数学 第27题
📝 题目
### 【基础篇】第27题（填空题） 27．若 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+x^{3} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{1+x^2} + \frac{\pi}{4(1-\frac{1}{3})}x^3$？重新计算。 **解析**：步骤1：设$A=\int_0^1 f(x) dx$，则$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2} + A x^3$。 步骤2：两边在$[0,1]$上积分：$\displaystyle A = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx + A \int_0^1 x^3 dx = \arctan x\big|_0^1 + A \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{A}{4}$。 步骤3：解得$\displaystyle A - \frac{A}{4} = \frac{\pi}{4}$，$\displaystyle \frac{3A}{4} = \frac{\pi}{4}$，$\displaystyle A = \frac{\pi}{3}$。故$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2} + \frac{\pi}{3} x^3$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设未知积分并代入原方程
设 A = ∫₀¹ f(x) dx，则原方程化为 f(x) = 1/(1+x²) + A x³。
公式：f(x) = 1/(1+x²) + A x³
提示：注意积分变量是x，但A是常数。
步骤 2/4
目标：两边积分得到关于A的方程
对等式两边在[0,1]上积分：∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ 1/(1+x²) dx + A ∫₀¹ x³ dx，即 A = arctan x|₀¹ + A·(1/4) = π/4 + A/4。
公式：A = π/4 + A/4
提示：∫₀¹ 1/(1+x²) dx = arctan x|₀¹ = π/4；∫₀¹ x³ dx = 1/4。
步骤 3/4
目标：解出A
移项得 A - A/4 = π/4，即 (3A)/4 = π/4，解得 A = π/3。
公式：A = π/3
提示：注意系数计算。
步骤 4/4
目标：回代得到f(x)
将A = π/3代入f(x) = 1/(1+x²) + A x³，得 f(x) = 1/(1+x²) + (π/3) x³。
公式：f(x) = 1/(1+x²) + (π/3) x³
提示：最终结果。
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