kaoyan1basic 高等数学 第27题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第27题（选择题） 27．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array} g(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.\right.$ 则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t-x) g(t) \mathrm{d} t=(\quad)$ 。 （A） $\displaystyle \begin{cases}\frac{(x-1)^{2}}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ \frac{x^{2}-1}{2}, & 01\end{cases}$ （B） $\displaystyle \begin{cases}\frac{(1-x)^{2}}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ \frac{1-x^{2}}{2}, & 01\end{cases}$ （C） $\displaystyle \begin{cases}\frac{x^{2}-1}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ \frac{(x-1)^{2}}{2}, & 01\end{cases}$ （D） $\displaystyle \begin{cases}\frac{1-x^{2}}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0 \\ \frac{(1-x)^{2}}{2}, & 01\end{cases}$

💡 答案解析

**答案**：B **解析**：步骤1：卷积积分$h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t-x) g(t) dt$。$f(t-x)=\begin{cases} t-x, & 0\le t-x\le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，即$x\le t\le x+1$；$g(t)=\begin{cases} 1, & 0\le t\le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。故被积函数非零当且仅当$t\in[0,1]\cap[x,x+1]$。 步骤2：分情况讨论。当$x<-1$时，$x+1<0$，交集为空，$h(x)=0$。当$-1\le x\le 0$时，$t\in[0,x+1]$，$\displaystyle h(x)=\int_0^{x+1} (t-x) dt = [\frac{t^2}{2} - x t]_0^{x+1} = \frac{(x+1)^2}{2} - x(x+1) = \frac{x^2+2x+1}{2} - x^2 - x = \frac{1-x^2}{2}$。当$01$时，$x>1$，交集为空，$h(x)=0$。故对应选项B。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：理解卷积积分形式
定义 h(x) = ∫_{-∞}^{+∞} f(t-x) g(t) dt。f(t-x) 非零当且仅当 0 ≤ t-x ≤ 1，即 x ≤ t ≤ x+1；g(t) 非零当且仅当 0 ≤ t ≤ 1。因此被积函数非零当且仅当 t ∈ [0,1] ∩ [x, x+1]。
公式：h(x) = ∫_{-∞}^{+∞} f(t-x) g(t) dt
提示：注意 f 和 g 都是分段函数，需要找出使两者同时非零的 t 区间。
步骤 2/7
目标：分情况讨论 x 的范围
根据 x 的不同取值，积分区间不同。分四种情况：x < -1，-1 ≤ x ≤ 0，0 < x ≤ 1，x > 1。
提示：边界点 x = -1, 0, 1 需要单独考虑，但通常包含在闭区间内。
步骤 3/7
目标：计算 x < -1 的情况
当 x < -1 时，x+1 < 0，区间 [x, x+1] 与 [0,1] 无交集，故 h(x)=0。
提示：注意区间端点比较。
步骤 4/7
目标：计算 -1 ≤ x ≤ 0 的情况
此时 t 的取值范围为 [0, x+1]。h(x) = ∫_0^{x+1} (t-x) dt = [t^2/2 - x t]_0^{x+1} = (x+1)^2/2 - x(x+1) = (1-x^2)/2。
公式：∫ (t-x) dt = t^2/2 - x t
提示：积分时注意上下限。
步骤 5/7
目标：计算 0 < x ≤ 1 的情况
此时 t 的取值范围为 [x, 1]。h(x) = ∫_x^1 (t-x) dt = [t^2/2 - x t]_x^1 = (1/2 - x) - (x^2/2 - x^2) = (1-x)^2/2。
提示：注意积分下限是 x。
步骤 6/7
目标：计算 x > 1 的情况
当 x > 1 时，x > 1，区间 [x, x+1] 与 [0,1] 无交集，故 h(x)=0。
步骤 7/7
目标：综合结果并选择选项
综合得：h(x) = { (1-x^2)/2, -1≤x≤0; (1-x)^2/2, 01 }，对应选项 B。
提示：注意选项中的表达式与计算结果一致。

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