kaoyan1basic 高等数学 第28题
📝 题目
### 【基础篇】第28题（填空题） 28． $\int_{-1}^{1}\left[x^{3} \cos x+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right] \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：被积函数由两部分组成：$x^3\cos x$为奇函数，$\ln(x+\sqrt{x^2+1})$为奇函数（反双曲正弦）。奇函数之和为奇函数。 步骤2：在对称区间$[-1,1]$上，奇函数的积分为0。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断被积函数的奇偶性
被积函数为 $f(x)=x^3\cos x + \ln(x+\sqrt{x^2+1})$。首先，$x^3\cos x$ 是奇函数（因为 $x^3$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数，奇×偶=奇）。其次，$\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 是反双曲正弦函数，也是奇函数。因此，$f(x)$ 是奇函数。
公式：奇函数定义：$f(-x)=-f(x)$
提示：记住常见奇函数：$x^{奇数}$，$\sin x$，$\tan x$，$\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 等。
步骤 2/2
目标：利用对称区间上奇函数的积分性质
由于积分区间 $[-1,1]$ 关于原点对称，且 $f(x)$ 是奇函数，所以 $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0$。
公式：$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ 当 $f(x)$ 为奇函数
提示：对称区间上奇函数积分为0，偶函数积分为2倍正半轴积分。
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