kaoyan1basic 高等数学 第31题
📝 题目
### 【基础篇】第31题（选择题） 31．设 $\alpha(x)=\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t, \beta(x)=\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t, f(x)>0$ ，且 $f^{\prime}(x)=o(x)\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$，则当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的（ ）． （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$\alpha(x)=\int_0^x t f(t) dt$，$\beta(x)=\int_0^x x f(t) dt = x \int_0^x f(t) dt$。 步骤2：当$x\to0^+$时，$f(x)>0$且$f'(x)=o(x)$，即$f'(x)$是比$x$高阶的无穷小，故$f(x)$可展开：$f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x^2)$，但$f'(0)=0$（因$f'(x)=o(x)$，则$f'(0)=0$），故$f(x)=f(0)+o(x^2)$，即$f(x)\to f(0)>0$为常数。 步骤3：比较阶数。$\displaystyle \alpha(x) \sim f(0) \int_0^x t dt = f(0) \frac{x^2}{2}$，$\beta(x) \sim x \int_0^x f(0) dt = f(0) x^2$。故$\alpha(x)$与$\beta(x)$同阶，$\displaystyle \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \to \frac{1}{2}$，为同阶非等价无穷小。对应D。 **难度**：★★★☆☆