kaoyan1basic 高等数学 第32题
📝 题目
### 【基础篇】第32题（选择题） 32．设函数 $f(x)$ 及其反函数 $f^{-1}(x)$ 都可导，且有 $\displaystyle \int_{2}^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}-9$ ，则 $f(x)=$ ． （A）$\sqrt{x}-1$ （B）$\sqrt{x}+1$ （C） $2 \sqrt{x}-1$ （D） $2 \sqrt{x}+1$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：对已知等式两边关于$x$求导，得$\displaystyle f^{-1}(f(x)) \cdot f'(x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}$，即$\displaystyle x f'(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x}$，故$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。 步骤2：积分得$f(x) = \sqrt{x} + C$。代入原等式，令$x=4$，左边$\int_{2}^{f(4)} f^{-1}(t) dt = \int_{2}^{2+C} f^{-1}(t) dt$，右边$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot 8 - 9 = -\frac{19}{3}$。由$f(x)=\sqrt{x}+C$得$f^{-1}(t)=(t-C)^2$，代入计算得$C=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：对已知等式两边关于x求导，得到关于f'(x)的方程
已知 ∫_{2}^{f(x)} f^{-1}(t) dt = (1/3)x^{3/2} - 9，两边对x求导，利用变上限积分求导法则：左边导数为 f^{-1}(f(x))·f'(x) = x·f'(x)，右边导数为 (1/2)x^{1/2}，因此 x·f'(x) = (1/2)√x，解得 f'(x) = 1/(2√x)。
公式：d/dx ∫_{a}^{g(x)} h(t) dt = h(g(x))·g'(x)
提示：注意反函数性质：f^{-1}(f(x)) = x
步骤 2/2
目标：积分求出f(x)的表达式，并利用初始条件确定常数
由 f'(x) = 1/(2√x) 积分得 f(x) = √x + C。代入原等式，令 x=4，左边 ∫_{2}^{f(4)} f^{-1}(t) dt = ∫_{2}^{2+C} f^{-1}(t) dt，右边 (1/3)·4^{3/2} - 9 = (1/3)·8 - 9 = -19/3。由 f(x)=√x+C 得反函数 f^{-1}(t) = (t-C)^2，代入左边计算：∫_{2}^{2+C} (t-C)^2 dt = [ (t-C)^3/3 ]_{2}^{2+C} = (C^3)/3 - ((2-C)^3)/3 = -19/3，解得 C=1。因此 f(x)=√x+1。
公式：∫ (t-C)^2 dt = (t-C)^3/3
提示：选择 x=4 是为了简化计算，因为 4^{3/2}=8 是整数。
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