kaoyan1basic 高等数学 第33题
📝 题目
### 【基础篇】第33题（选择题） 33．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续的导数，则 $\displaystyle \lim _{a \rightarrow+0^{+}} \frac{1}{4 a^{2}} \int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{d} t=$ ． （A） 0 （B）$f^{\prime}(0)$ （C）$\displaystyle \frac{1}{4} f^{\prime}(0)$ （D）不存在
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：令$F(a)=\int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)]dt$，作变量代换$u=t+a$和$v=t-a$，得$F(a)=\int_{0}^{2a}f(u)du - \int_{-2a}^{0}f(v)dv$。 步骤2：由积分中值定理，$F(a)=2a f(\xi_1) - 2a f(\xi_2)$，其中$\xi_1\in(0,2a),\xi_2\in(-2a,0)$。则$\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{F(a)}{4a^2}=\lim_{a\to0^+}\frac{2a[f(\xi_1)-f(\xi_2)]}{4a^2}=\lim_{a\to0^+}\frac{f(\xi_1)-f(\xi_2)}{2a}$。 步骤3：由拉格朗日中值定理，$f(\xi_1)-f(\xi_2)=f'(\eta)(\xi_1-\xi_2)$，且$\xi_1-\xi_2\to 0$，$\eta\to 0$，故极限为$\displaystyle \frac{1}{2}f'(0)\cdot 1 = \frac{1}{4}f'(0)$。 **难度**：★★★☆☆