kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．曲线 $\mathrm{e}^{y}+x y+x^{3}=\mathrm{e}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：对方程$\mathrm{e}^y + xy + x^3 = \mathrm{e}$两边对$x$求导，得$\mathrm{e}^y y' + y + xy' + 3x^2 = 0$。代入$(0,1)$，得$\mathrm{e} \cdot y' + 1 + 0 + 0 = 0$，故$\displaystyle y' = -\frac{1}{\mathrm{e}}$。 步骤2：切线方程为$\displaystyle y-1 = -\frac{1}{\mathrm{e}}(x-0)$，即$\displaystyle y = 1 - \frac{x}{\mathrm{e}}$。 步骤3：切线与$x$轴交点为$(\mathrm{e},0)$，与$y$轴交点为$(0,1)$，三角形面积$\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{e} \cdot 1 = \frac{\mathrm{e}}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求曲线在点(0,1)处的导数
对方程 e^y + xy + x^3 = e 两边对 x 求导，得 e^y y' + y + x y' + 3x^2 = 0。代入点 (0,1)，得 e * y' + 1 + 0 + 0 = 0，解得 y' = -1/e。
公式：隐函数求导法则
提示：注意 e^y 的导数为 e^y y'，xy 的导数为 y + x y'。
步骤 2/4
目标：写出切线方程
利用点斜式，切线方程为 y - 1 = (-1/e)(x - 0)，即 y = 1 - x/e。
公式：点斜式直线方程
提示：斜率 k = y' = -1/e。
步骤 3/4
目标：求切线与坐标轴的交点
令 x=0，得 y=1，即与 y 轴交点为 (0,1)；令 y=0，得 0=1 - x/e，解得 x=e，即与 x 轴交点为 (e,0)。
公式：直线与坐标轴交点求法
提示：分别令 x=0 和 y=0 求解。
步骤 4/4
目标：计算三角形面积
三角形两直角边长度分别为 e 和 1，面积 S = (1/2) * e * 1 = e/2。
公式：直角三角形面积公式
提示：注意坐标轴上的截距可能为负，但面积取绝对值。
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