kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．曲线 $\displaystyle y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ 在 $\left[1, \mathrm{e}^{2}\right]$ 上与 $x$ 轴所围图形的面积是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2\sqrt{\mathrm{e}} - 2$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$在$[1,\mathrm{e}^2]$上非负，面积$\displaystyle S=\int_{1}^{\mathrm{e}^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx$。 步骤2：令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$dx=2t dt$，积分限$t:1\to\mathrm{e}$，$\displaystyle S=\int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{\ln(t^2)}{t} \cdot 2t dt = \int_{1}^{\mathrm{e}}4\ln t dt = 4(t\ln t - t)\Big|_{1}^{\mathrm{e}} = 4(\mathrm{e} - \mathrm{e} + 1) = 4$。 步骤3：检查：$\int_{1}^{\mathrm{e}}4\ln t dt = 4(1\cdot0 - 1) - 4(0-1) = -4 + 4 = 0$？正确计算：$\int \ln t dt = t\ln t - t$，从1到$\mathrm{e}$得$(\mathrm{e}\cdot1 - \mathrm{e}) - (0-1) = 1$，乘以4得4。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定面积表达式
曲线 y = ln x / √x 在区间 [1, e^2] 上非负，因此所求面积 S 为定积分 ∫_{1}^{e^2} (ln x / √x) dx。
公式：S = ∫_{1}^{e^2} (ln x / √x) dx
提示：注意被积函数在区间内非负，面积直接等于积分值。
步骤 2/3
目标：换元简化积分
令 t = √x，则 x = t^2，dx = 2t dt。当 x = 1 时 t = 1，当 x = e^2 时 t = e。代入得 S = ∫_{1}^{e} (ln(t^2) / t) * 2t dt = ∫_{1}^{e} 4 ln t dt。
公式：S = ∫_{1}^{e} 4 ln t dt
提示：换元时注意积分限的对应和微分 dx 的替换。
步骤 3/3
目标：计算积分
∫ ln t dt = t ln t - t + C，所以 ∫_{1}^{e} 4 ln t dt = 4 [t ln t - t]_{1}^{e} = 4[(e·1 - e) - (1·0 - 1)] = 4(0 + 1) = 4。
公式：∫ ln t dt = t ln t - t + C
提示：注意 ln e = 1，ln 1 = 0，代入计算要仔细。
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