kaoyan1basic 高等数学 第2题

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📝 题目

### 【强化篇】第2题（填空题） 2．曲线 $\displaystyle r=2 \cos 3 \theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ 与 $\theta=0$ 及 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$ 所围图形面积为 $\_\_\_\_$。

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{12}$ **解析**： 步骤1：极坐标面积公式$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$，代入$r=2\cos3\theta$，得$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 4\cos^2 3\theta d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 3\theta d\theta$。 步骤2：$\displaystyle \cos^2 3\theta = \frac{1+\cos6\theta}{2}$，故$\displaystyle S=2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1+\cos6\theta}{2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (1+\cos6\theta) d\theta = \left(\theta + \frac{1}{6}\sin6\theta\right)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6} + 0 = \frac{\pi}{6}$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：写出极坐标面积公式并代入曲线方程
由极坐标面积公式 S = 1/2 ∫ r^2 dθ，代入 r = 2cos3θ，得 S = 1/2 ∫_0^{π/6} (2cos3θ)^2 dθ = 1/2 ∫_0^{π/6} 4cos^2 3θ dθ = 2 ∫_0^{π/6} cos^2 3θ dθ。
公式：S = 1/2 ∫_α^β r^2 dθ
提示：注意积分上下限由题目给出：θ从0到π/6。
步骤 2/3
目标：利用倍角公式化简被积函数
使用倍角公式 cos^2 3θ = (1+cos6θ)/2，代入得 S = 2 ∫_0^{π/6} (1+cos6θ)/2 dθ = ∫_0^{π/6} (1+cos6θ) dθ。
公式：cos^2 x = (1+cos2x)/2
提示：倍角公式可降低幂次，便于积分。
步骤 3/3
目标：计算定积分
∫_0^{π/6} (1+cos6θ) dθ = [θ + (1/6)sin6θ]_0^{π/6} = (π/6 + (1/6)sinπ) - (0 + 0) = π/6。
公式：∫ cos(ax) dx = (1/a) sin(ax)
提示：sinπ=0，注意计算准确。

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