kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．如图所示，抛物线 $y=(\sqrt{2}-1) x^{2}$ 把 $y=x(b-x)(b>0)$ 与 $x$ 轴所围成的闭区域分为面积为 $S_{A}$ 与 $S_{B}$ 的两部分，则 ． （A）$S_{A}
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$y=x(b-x)$与$x$轴交点为$(0,0)$和$(b,0)$，所围面积$\displaystyle S=\int_{0}^{b}x(b-x)dx = \frac{b^3}{6}$。 步骤2：抛物线$y=(\sqrt{2}-1)x^2$与$y=x(b-x)$交点满足$(\sqrt{2}-1)x^2 = x(b-x)$，解得$x=0$或$\displaystyle x=\frac{b}{\sqrt{2}}$。 步骤3：$\displaystyle S_A = \int_{0}^{b/\sqrt{2}}[x(b-x)-(\sqrt{2}-1)x^2]dx = \int_{0}^{b/\sqrt{2}}(bx - \sqrt{2}x^2)dx = \frac{b^3}{12}$，$\displaystyle S_B = S - S_A = \frac{b^3}{12}$，故$S_A=S_B$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求曲线 y=x(b-x) 与 x 轴围成的总面积 S
曲线 y=x(b-x) 与 x 轴的交点为 (0,0) 和 (b,0)，因此总面积 S = ∫₀ᵇ x(b-x) dx。
公式：S = ∫₀ᵇ (bx - x²) dx = [ (b/2)x² - (1/3)x³ ]₀ᵇ = b³/6
提示：注意积分上下限对应交点横坐标。
步骤 2/4
目标：求抛物线 y=(√2-1)x² 与曲线 y=x(b-x) 的交点
联立方程 (√2-1)x² = x(b-x)，整理得 x[(√2-1)x - (b-x)] = 0，即 x(√2 x - b) = 0，解得 x=0 或 x=b/√2。
公式：交点横坐标 x=0 和 x=b/√2
提示：注意 b>0，因此 b/√2 为正。
步骤 3/4
目标：计算面积 S_A
S_A 是 x 从 0 到 b/√2 区间内，曲线 y=x(b-x) 在上方、抛物线在下方的面积差：S_A = ∫₀^{b/√2} [x(b-x) - (√2-1)x²] dx = ∫₀^{b/√2} (bx - √2 x²) dx。
公式：S_A = [ (b/2)x² - (√2/3)x³ ]₀^{b/√2} = b³/12
提示：计算时注意代入上限 b/√2 后化简。
步骤 4/4
目标：计算面积 S_B 并比较
S_B = S - S_A = b³/6 - b³/12 = b³/12，因此 S_A = S_B。
公式：S_B = S - S_A = b³/12
提示：S_A 与 S_B 相等，与 b 无关。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。