kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．若曲线 $r=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 所围图形的面积为 $6 \pi$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：心形线$r=a(1+\cos\theta)$面积公式$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} a^2(1+\cos\theta)^2 d\theta = \frac{a^2}{2}\int_{0}^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)d\theta$。 步骤2：$\int_{0}^{2\pi}\cos\theta d\theta=0$，$\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta d\theta = \pi$，$\int_{0}^{2\pi}1 d\theta=2\pi$，故$\displaystyle S=\frac{a^2}{2}(2\pi + \pi) = \frac{3\pi a^2}{2}$。 步骤3：令$\displaystyle \frac{3\pi a^2}{2}=6\pi$，解得$a^2=4$，$a=2$（取正）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出心形线面积公式并代入参数方程
心形线 $r = a(1 + \cos \theta)$ 所围图形的面积公式为 $S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} r^2 d\theta$，代入 $r$ 得 $S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} a^2 (1 + \cos \theta)^2 d\theta = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{2\pi} (1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta) d\theta$。
公式：S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} r^2 d\theta
提示：注意极坐标下面积公式的积分限，心形线通常取 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 2/3
目标：计算定积分
分别计算各部分积分：$\int_{0}^{2\pi} 1 d\theta = 2\pi$，$\int_{0}^{2\pi} \cos \theta d\theta = 0$，$\int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta d\theta = \pi$。因此 $S = \frac{a^2}{2} (2\pi + 0 + \pi) = \frac{3\pi a^2}{2}$。
公式：\int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta d\theta = \pi
提示：利用 $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ 可快速计算积分。
步骤 3/3
目标：根据已知面积求参数 a
已知 $S = 6\pi$，代入得 $\frac{3\pi a^2}{2} = 6\pi$，解得 $a^2 = 4$，由于 $a > 0$，故 $a = 2$。
公式：\frac{3\pi a^2}{2} = 6\pi
提示：注意 $a>0$，舍去负根。
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