kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．过点 $(p, \sin p)$ 作曲线 $y=\sin x$ 的切线（见图），设该曲线与切线及 $y$ 轴所围成图形的面积为 $S_{1}$ ，曲线与直线 $x=p$ 及 $x$ 轴所围成图形的面积为 $S_{2}$ ，则 ． （A） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{1}{3}$ （B） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{1}{2}$ （C） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{2}{3}$ （D） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=1$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：过点$(p,\sin p)$的切线斜率$k=\cos p$，切线方程$y-\sin p = \cos p (x-p)$，与$y$轴交点$(0,\sin p - p\cos p)$。 步骤2：$S_1 = \int_{0}^{p}[\sin p + \cos p (x-p) - \sin x]dx$，$S_2 = \int_{0}^{p}\sin x dx = 1-\cos p$。 步骤3：计算$\displaystyle S_1 = p\sin p - \frac{p^2}{2}\cos p - (1-\cos p)$，$\displaystyle S_1+S_2 = p\sin p - \frac{p^2}{2}\cos p$。 步骤4：$\displaystyle \lim_{p\to0^+}\frac{S_2}{S_1+S_2} = \lim_{p\to0^+}\frac{1-\cos p}{p\sin p - \frac{p^2}{2}\cos p} = \lim_{p\to0^+}\frac{\frac{1}{2}p^2}{p^2 - \frac{p^2}{2}} = \frac{2}{3}$。 **难度**：★★★★☆