kaoyan1basic 高等数学 第4题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设函数 $y=y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{-x}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}=1$ ，求曲线 $y=y(x)$ 与 $x$ 轴正半轴之间的平面图形的面积及该平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积．

💡 答案解析

**答案**：面积$\displaystyle S=1-\frac{3}{2\mathrm{e}^2}$，体积$\displaystyle V=\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{5}{\mathrm{e}^2}\right)$ **解析**： 步骤1：解微分方程$y''+3y'+2y=\mathrm{e}^{-x}$，齐次解$y_h=C_1\mathrm{e}^{-x}+C_2\mathrm{e}^{-2x}$，特解设为$y_p=Ax\mathrm{e}^{-x}$，代入得$A=1$，故通解$y=C_1\mathrm{e}^{-x}+C_2\mathrm{e}^{-2x}+x\mathrm{e}^{-x}$。 步骤2：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{y(x)}{x}=1$得$y(0)=0$且$y'(0)=1$。代入得$C_1+C_2=0$，$-C_1-2C_2+1=1$，解得$C_1=0,C_2=0$，故$y=x\mathrm{e}^{-x}$。 步骤3：$y=x\mathrm{e}^{-x}$与$x$轴正半轴交于$(0,0)$，且当$x>0$时$y>0$，面积$S=\int_{0}^{+\infty}x\mathrm{e}^{-x}dx = 1$。 步骤4：绕$y$轴旋转体积$V=\int_{0}^{+\infty}2\pi x \cdot x\mathrm{e}^{-x}dx = 2\pi\int_{0}^{+\infty}x^2\mathrm{e}^{-x}dx = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：求解微分方程通解
解齐次方程 y''+3y'+2y=0，特征方程 r^2+3r+2=0，根 r1=-1, r2=-2，齐次解 y_h=C1 e^{-x}+C2 e^{-2x}。设特解 y_p=Ax e^{-x}，代入原方程得 A=1，故通解 y=C1 e^{-x}+C2 e^{-2x}+x e^{-x}。
公式：y''+3y'+2y=e^{-x} 的通解为 y=C1 e^{-x}+C2 e^{-2x}+x e^{-x}
提示：注意特解形式因右端 e^{-x} 是齐次解的一部分，需乘以 x。
步骤 2/4
目标：利用初始条件确定常数
由 lim_{x→0} y(x)/x =1 得 y(0)=0 且 y'(0)=1。代入通解：y(0)=C1+C2=0；求导 y'=-C1 e^{-x}-2C2 e^{-2x}+e^{-x}-x e^{-x}，得 y'(0)=-C1-2C2+1=1。解得 C1=0, C2=0，故 y=x e^{-x}。
公式：y(0)=0, y'(0)=1
提示：极限条件等价于函数在0处可导且导数为1，且函数值为0。
步骤 3/4
目标：计算曲线与x轴正半轴围成的面积
曲线 y=x e^{-x} 与 x 轴正半轴交于 (0,0)，当 x>0 时 y>0，面积 S=∫_{0}^{+∞} x e^{-x} dx = 1。
公式：S=∫_{0}^{+∞} x e^{-x} dx = 1
提示：使用伽马函数或分部积分：∫ x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C。
步骤 4/4
目标：计算绕y轴旋转的体积
体积 V=∫_{0}^{+∞} 2π x * y dx = 2π ∫_{0}^{+∞} x^2 e^{-x} dx = 2π * 2 = 4π。
公式：V=2π ∫_{0}^{+∞} x^2 e^{-x} dx = 4π
提示：使用柱壳法，注意积分限从0到+∞，∫ x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} -2x e^{-x} -2 e^{-x} + C。

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