kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设平面区域 $D$ 由曲线段 $y=\sin \pi x(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $x$ 轴围成，则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2\pi$ **解析**： 步骤1：利用柱壳法，体积公式为$V=2\pi\int_{0}^{1}x\sin\pi x\,dx$。 步骤2：计算积分$\displaystyle 2\pi\int_{0}^{1}x\sin\pi x\,dx=2\pi\left[-\frac{x}{\pi}\cos\pi x+\frac{1}{\pi^2}\sin\pi x\right]_{0}^{1}=2\pi\cdot\frac{1}{\pi}=2\pi$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定旋转体体积的计算方法
由于曲线绕y轴旋转，且x的范围已知，采用柱壳法。体积元素为dV=2πx·y dx，其中y=sinπx，x从0到1。
公式：V=2π∫_0^1 x sinπx dx
提示：柱壳法适用于绕y轴旋转，被积函数为x乘以曲线函数。
步骤 2/2
目标：计算定积分
计算积分∫ x sinπx dx，使用分部积分法：令u=x，dv=sinπx dx，则du=dx，v=-cosπx/π。得到∫ x sinπx dx = -x cosπx/π + ∫ cosπx/π dx = -x cosπx/π + sinπx/π^2。代入上下限0和1，得[-1·cosπ/π + sinπ/π^2] - [0 + 0] = [-(-1)/π + 0] = 1/π。再乘以2π得2。
公式：∫ x sinπx dx = -x cosπx/π + sinπx/π^2 + C
提示：分部积分时注意符号，代入上下限时小心计算。
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