kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．过坐标原点作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的切线，该切线与曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 以及 $x$ 轴围成的向 $x$ 轴负向无限伸展的图形记为 $D$ 。 （1）求 $D$ 的面积； （2）求 $D$ 绕直线 $x=1$ 旋转一周所成的旋转体体积．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \frac{e}{2}$；（2）$\displaystyle \frac{\pi}{2}(e^2-2e+1)$ **解析**： （1）步骤1：设切点为$(x_0,e^{x_0})$，切线斜率$k=e^{x_0}$，切线方程为$y=e^{x_0}x$，代入切点得$e^{x_0}=e^{x_0}x_0$，解得$x_0=1$，切线为$y=ex$。 步骤2：面积$\displaystyle S=\int_{-\infty}^{0}e^x\,dx+\int_{0}^{1}(e^x-ex)\,dx=1+\left[e^x-\frac{e}{2}x^2\right]_{0}^{1}=1+(e-\frac{e}{2}-1)=\frac{e}{2}$。 （2）步骤1：旋转体体积$V=\pi\int_{-\infty}^{0}(1-x)^2e^{2x}\,dx+\pi\int_{0}^{1}[(1-x)^2e^{2x}-(1-x)^2e^2x^2]\,dx$。 步骤2：计算得$\displaystyle V=\frac{\pi}{2}(e^2-2e+1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求切线方程
设切点为(x0, e^{x0})，切线斜率为k = e^{x0}，切线方程为y = e^{x0}x。代入切点得e^{x0} = e^{x0}x0，解得x0=1，切线为y=ex。
公式：y = e^{x0}x
提示：注意切点既在曲线上也在切线上。
步骤 2/3
目标：求D的面积
面积S = ∫_{-∞}^{0} e^x dx + ∫_{0}^{1} (e^x - ex) dx。计算得S = 1 + [e^x - (e/2)x^2]_{0}^{1} = 1 + (e - e/2 - 1) = e/2。
公式：S = ∫_{-∞}^{0} e^x dx + ∫_{0}^{1} (e^x - ex) dx
提示：注意分段积分，第一部分是曲线y=e^x与x轴围成，第二部分是曲线与切线围成。
步骤 3/3
目标：求旋转体体积
体积V = π ∫_{-∞}^{0} (1-x)^2 e^{2x} dx + π ∫_{0}^{1} [(1-x)^2 e^{2x} - (1-x)^2 e^2 x^2] dx。计算得V = π/2 (e^2 - 2e + 1)。
公式：V = π ∫ (R^2 - r^2) dx，其中R为外半径，r为内半径
提示：绕直线x=1旋转，使用圆盘法或柱壳法，注意半径表达式。
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